三元环是一个不怎么常见的黑科技，它的求解方法是一种基于分块思想的方法，比较简单好写，在这里介绍一下三元环的计数方法及正确性与时间复杂度证明。

对于一个$n$个点$m$条边的无向图，三元环是指对于图上的三个点，两两点之间都直接有边相连，这三个点组成的环就是三元环。

三元环的计数方法：记录图中每个点的度数，对于每条边将它定向。对于一条边，将度数大的点指向度数小的点，如果度数相同就将编号小的点指向编号大的点。计数时枚举每个点，对于每个点$x$枚举它的出边，并将出边指向的点$y$打标记，对于所有出边指向的点$y$再枚举出边，如果这个出边指向的点$z$被打了标记，那么$x,y,z$就组成了一个三元环。时间复杂度为$O(m\sqrt{m})$。

对于这个方法只需要证明三点：

1、将边定向后的图是有向无环图($DAG$)

这个很好证明，因为按照上述定向规则，我们称$x$连向$y$表示$x$比$y$大，那么任意两个点的大小关系是固定的，每个点只会向比它小的点连边，所以一定构成了有向无环图。

2、每个三元环只会被统计一次

 

如图所示，因为三元环上的边是定向的，而且每个点只会枚举出边，所以每个三元环被统计的情况是唯一的。

3、时间复杂度为$O(m\sqrt{m})$

考虑时间复杂度分为两部分：一部分为每个点枚举出边，另一部分为每个出边指向的点枚举出边。

第一部分时间复杂度显然为$O(n+m)$，而第二部分我们分类讨论：

如果一个点的出度大于$\sqrt{m}$，指向它的点出度一定要比它大，这样的点最多$\sqrt{m}$个，时间复杂度为$O(m\sqrt{m})$

如果一个点的出度小于$\sqrt{m}$，指向他的点最多有$n$个，时间复杂度为$O(n\sqrt{m})$

综上所述，时间复杂度为$O(m\sqrt{m})$

三元环的题只找到了三道：